قضیه ی سوا و عکس آن

اثبات قضیه ای مهم در هندسه که بسیاری از مسایل به کمک آن حل می شود...

قضیه ی سوا:اگر در مثلث ABC سه خط سوایی AX و BY و CZ همرس باشند، آن گاه:

AZ/ZB . BX/XC . CY/YA = 1

حالا واسه هر دو حالت داریم:

BX/XC = S ABX/S ACX = S BPX/S CPX => BX/XC = S ABP/ S ACP

پ.ن : S ABC یعنی مساحت مثلث ABC!

به طریق مشابه ثابت می شود که:

از ضرب این نسیت ها نتیجه می شود که:

AZ/ZB . BX/XC . CY/YA = 1

اثبات تمام شد!



حالا عکس قضیه رو هم می گم که بتونیم بریم مسئله اثبات کنیم:

عکس قضیه ی سوا:
اگر نقاط X, Y و Z به ترتیب روی اضلاع BC, CA و AB (یا امتداد آن ها) از مثلث ABC باشند، به طوری که AZ/ZB . BX/XC . CY/YA = 1 ، آن گاه خطوط AX و BY و CZ همرس اند.
این رو هم باید اثبات کرد، ولی فعلا اثباتش رو نمی نویسم، ولی اگه کسی خواست بگه که اثبات این رو هم بنویسم، بالاخره تو هندسه باید هر چیزی رو اثبات کرد!


حالا از این قضیه می شه واسه جاهایی استفاده کرد که بخوایم ثابت کنیم که سه تا خط مثلا تو یه مثلث همرس اند.

مثلا ثابت می کنیم که در هر مثلث سه میانه همرس اند که واسه سه ارتفاع و سه نیمساز هم میشه اثبات کرد:
اگر AX و BY و CZ میانه های مثلث ABC باشند، داریم:

AZ/ZB = 1 و BX/XC = 1 و CY/YA = 1

پس: AZ/ZB . BX/XC . CY/YA = 1 و لذا بنابر عکس قضیه ی سوا خطوط AX و BY و CZ همرس اند.
اثبات شد .

AZ/ZB = S CAP/ SCBP و CX/YA = S BCP/S BAP